Preço de Opções: Modelo Black-Scholes.
A fórmula de Black-Scholes (também chamada Black-Scholes-Merton) foi o primeiro modelo amplamente utilizado para o preço das opções. Ele é usado para calcular o valor teórico das opções no estilo europeu usando os preços atuais das ações, os dividendos esperados, o preço de exercício da opção, as taxas de juros esperadas, o prazo até o vencimento e a volatilidade esperada.
[O preço da opção é muito complexo porque depende de muitos fatores diferentes. A boa notícia é que muitos desses cálculos são resumidos nos gregos (delta, vega, etc.) e cada um desses gregos tem um significado específico. Se você quiser saber mais sobre negociação de opções, confira o curso Opções para iniciantes da Investopedia. Você aprenderá como interpretar as datas de vencimento, distinguir valor intrínseco do valor de tempo e muito mais em mais de cinco horas de vídeo sob demanda, exercícios e conteúdo interativo. ]
A fórmula, desenvolvida por três economistas - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton - talvez seja o modelo de precificação de opções mais conhecido no mundo. Foi introduzido em seu artigo de 1973, "A precificação de opções e passivos corporativos", publicado no Journal of Political Economy. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivativos (o Prêmio Nobel não é dado postumamente; no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no Modelo Black-Scholes).
O modelo de Black-Scholes faz certas suposições:
A opção é européia e só pode ser exercida no vencimento. Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção. Os mercados são eficientes (isto é, os movimentos do mercado não podem ser previstos). Não há custos de transação na compra da opção. A taxa livre de risco e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes. Os retornos do subjacente são normalmente distribuídos.
Nota: Embora o modelo original de Black-Scholes não tenha considerado os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo é freqüentemente adaptado para considerar dividendos determinando o valor da data ex-dividendo da ação subjacente.
Fórmula Black-Scholes.
A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis:
opções de preço subjacente atual preço de exercício até o vencimento, expresso como percentual de taxas de juros livres de risco implícitas de volatilidade de um ano.
O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1), multiplica o preço pela mudança no prêmio da chamada em relação a uma mudança no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado da compra do direito absoluto. A segunda parte, N (d2) Ke - rt, fornece o valor atual de pagar o preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo Black-Scholes se aplica a opções européias que podem ser exercidas somente no dia de vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, conforme mostrado na equação.
A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, você não precisa saber ou mesmo entender a matemática para usar a modelagem de Black-Scholes em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os operadores de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line, e muitas das plataformas de negociação atuais possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que realizam os cálculos e exibem os valores de precificação das opções. Um exemplo de uma calculadora Black-Scholes on-line é mostrado na Figura 5. O usuário insere todas as cinco variáveis (preço de exercício, preço da ação, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco) e clica em "obter cotação" para exibir os resultados.
Fórmulas do Excel Black-Scholes e Como Criar uma Planilha de Preços de Opções Simples.
Esta página é um guia para criar sua própria planilha de cálculo de preços de opções do Excel, de acordo com o modelo Black-Scholes (estendido para dividendos da Merton). Aqui você pode obter uma calculadora Black-Scholes do Excel pronta com gráficos e recursos adicionais, como cálculos de parâmetros e simulações.
Black-Scholes no Excel: O Grande Quadro.
Se você não está familiarizado com o modelo Black-Scholes, seus parâmetros e (pelo menos a lógica das) fórmulas, você pode primeiro querer ver esta página.
Abaixo, mostrarei como aplicar as fórmulas Black-Scholes no Excel e como reuni-las em uma planilha de preços de opções simples. Existem 4 etapas:
Crie células onde você irá inserir parâmetros. Calcule d1 e d2. Calcular os preços das opções de compra e venda. Calcule a opção Gregos.
Parâmetros Black-Scholes no Excel.
Primeiro você precisa projetar 6 células para os 6 parâmetros Black-Scholes. Ao precificar uma determinada opção, você terá que inserir todos os parâmetros nessas células no formato correto. Os parâmetros e formatos são:
S 0 = preço subjacente (USD por ação)
X = preço de exercício (USD por ação)
r = taxa de juros livre de risco continuamente composta (% p. a.)
q = rendimento de dividendos continuamente composto (% p. a.)
t = tempo para expiração (% do ano)
O preço subjacente é o preço pelo qual o título subjacente está sendo negociado no mercado no momento em que você está fazendo o preço da opção. Digite em dólares (ou euros / iene / libra etc.) por ação.
O preço de exercício, também chamado de preço de exercício, é o preço pelo qual você irá comprar (se ligar) ou vender (se colocado) o título subjacente, se você optar por exercer a opção. Se você precisar de mais explicações, consulte: Strike vs. Market Price vs. Underlying Price. Digite também em dólares por ação.
Volatilidade é o parâmetro mais difícil de estimar (todos os outros parâmetros são mais ou menos dados). É seu trabalho decidir qual a alta volatilidade esperada e o número a ser digitado - nem o modelo Black-Scholes, nem esta página lhe dirão a alta volatilidade que se pode esperar com sua opção em particular. Ser capaz de estimar (= prever) a volatilidade com mais sucesso do que outras pessoas é a parte difícil e fator-chave que determina o sucesso ou o fracasso na negociação de opções. O importante aqui é inseri-lo no formato correto, que é% p. a. (por cento anualizado).
Taxa de juros livre de risco deve ser inserida em% p. a., continuamente composta. O prazo da taxa de juros (tempo até o vencimento) deve corresponder ao tempo até a expiração da opção que você está precificando. Você pode interpolar a curva de juros para obter a taxa de juros do seu tempo exato até a expiração. A taxa de juros não afeta muito o preço da opção resultante no ambiente de juros baixos, que tivemos nos últimos anos, mas pode se tornar muito importante quando as taxas são mais altas.
O rendimento de dividendos também deve ser entrado em% p. a., continuamente composto. Se o estoque subjacente não pagar qualquer dividendo, digite zero. Se você está precificando uma opção sobre títulos que não sejam ações, você pode inserir a taxa de juros do segundo país (para opções FX) ou o rendimento de conveniência (para commodities) aqui.
O tempo até a expiração deve ser inserido como% do ano entre o momento de precificação (agora) e o vencimento da opção. Por exemplo, se a opção expirar em 24 dias corridos, você inserirá 24/365 = 6,58%. Alternativamente, você pode querer medir o tempo em dias de negociação em vez de dias de calendário. Se a opção expirar em 18 dias de negociação e houver 252 dias de negociação por ano, você entrará o tempo até a expiração como 18/252 = 7,14%. Além disso, você também pode ser mais preciso e medir o tempo até a expiração em horas ou até minutos. Em qualquer caso, você deve sempre expressar o tempo de expiração como% do ano para que os cálculos retornem resultados corretos.
Ilustrarei os cálculos no exemplo abaixo. Os parâmetros estão nas células A44 (preço subjacente), B44 (preço de exercício), C44 (volatilidade), D44 (taxa de juros), E44 (rendimento de dividendos) e G44 (tempo até a expiração como% do ano).
Nota: É a linha 44, porque estou usando a Calculadora Black-Scholes para capturas de tela. É claro que você pode começar na linha 1 ou organizar seus cálculos em uma coluna.
Black-Scholes d1 e d2 Excel Fórmulas.
Quando você tiver as células com os parâmetros prontos, a próxima etapa é calcular d1 e d2, porque esses termos entram em todos os cálculos de preços de opção de compra e venda e gregos. As fórmulas para d1 e d2 são:
Todas as operações nessas fórmulas são matemática relativamente simples. As únicas coisas que podem não ser familiares para alguns usuários menos experientes do Excel são o logaritmo natural (função LN Excel) e raiz quadrada (função SQRT Excel).
O mais difícil na fórmula d1 é garantir que você coloque os suportes nos lugares certos. É por isso que você pode querer calcular partes individuais da fórmula em células separadas, como eu faço no exemplo abaixo:
Primeiro eu calculo o logaritmo natural da razão entre o preço subjacente e o preço de exercício na célula H44:
Então eu calculo o resto do numerador da fórmula d1 na célula I44:
Então eu calculo o denominador da fórmula d1 na célula J44. É útil calculá-lo separadamente assim, porque esse termo também entrará na fórmula para d2:
Agora eu tenho todas as três partes da fórmula d1 e posso combiná-las na célula K44 para obter d1:
Finalmente, eu calculo d2 na célula L44:
Black-Scholes Option Preço Excel Fórmulas.
As fórmulas Black-Scholes para os preços das opções call (C) e put (P) são:
As duas fórmulas são muito semelhantes. Existem 4 termos em cada fórmula. Vou novamente calculá-los em células separadas primeiro e depois combiná-los na chamada final e colocar fórmulas.
N (d1), N (d2), N (-d2), N (-d1)
As partes potencialmente desconhecidas das fórmulas são os termos N (d1), N (d2), N (-d2) e N (-d1). N (x) indica a função de distribuição cumulativa normal padrão & # 8211; por exemplo, N (d1) é a função de distribuição cumulativa normal padrão para o d1 que você calculou na etapa anterior.
No Excel, você pode calcular facilmente as funções de distribuição cumulativa normal padrão usando a função NORM. DIST, que possui 4 parâmetros:
NORM. DIST (x, mean, standard_dev, cumulativo)
x = link para a célula onde você calculou d1 ou d2 (com sinal de menos para - d1 e - d2) média = insira 0, porque é distribuição normal padrão standard_dev = insira 1, porque é distribuição normal padrão cumulativa = insira TRUE porque é cumulativo.
Por exemplo, eu calculo N (d1) na célula M44:
Nota: Há também a função NORM. S.DIST no Excel, que é a mesma que NORM. DIST com média fixa = 0 e standard_dev = 1 (portanto, você insere apenas dois parâmetros: x e cumulativo). Você também pode usar; Estou mais acostumado com o NORM. DIST, que oferece maior flexibilidade.
Os termos com funções exponenciais.
Os expoentes (termos e-qt e e-rt) são calculados usando a função EXP Excel com - qt ou - rt como parâmetro.
Eu calculo e-rt na célula Q44:
Então eu uso para calcular X e-rt na célula R44:
Analogamente, eu calculo o e-qt na célula S44:
Então eu uso para calcular S0 e-qt na célula T44:
Agora eu tenho todos os termos individuais e posso calcular a chamada final e colocar o preço da opção.
Preço da opção de compra Black-Scholes no Excel.
Eu combino os 4 termos da fórmula de chamada para obter o preço da opção de compra na célula U44:
Black-Scholes Opção de Preço de Venda no Excel.
Eu combino os 4 termos na fórmula put para colocar o preço da opção na célula U44:
Gráficos Black-Scholes Gregos Excel.
Aqui você pode continuar para a segunda parte, que explica as fórmulas para delta, gamma, theta, vega e rho no Excel:
Ou você pode ver como todos os cálculos do Excel funcionam juntos na Calculadora Black-Scholes. Explicação das outras características da calculadora (cálculos de parâmetros e simulações de preços de opção e gregos) estão disponíveis no manual do usuário da calculadora.
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ESOs: usando o modelo Black-Scholes.
Uma opção tem um valor mínimo.
Você pode ver que o modelo de valor mínimo faz três coisas: (1) cresce a ação na taxa livre de risco para o prazo total, (2) assume um exercício e (3) desconta o ganho futuro para o valor presente com o mesma taxa livre de risco.
Se esperamos que uma ação alcance pelo menos um retorno sem risco segundo o método do valor mínimo, os dividendos reduzem o valor da opção (uma vez que o detentor das opções dispensa dividendos). Em outras palavras, se assumirmos uma taxa sem risco para o retorno total, mas alguns dos "vazamentos" de retorno para os dividendos, a valorização esperada do preço será menor. O modelo reflete essa menor valorização, reduzindo o preço das ações.
e = constante de Euler (2.718 & # 8230;)
d = rendimento de dividendos.
k = preço de exercício (strike).
r = taxa sem risco.
Não se preocupe com a constante e (2.718 & # 8230;); é apenas uma maneira de combinar e descontar continuamente, em vez de capitalizar em intervalos anuais.
Black-Scholes = Valor Mínimo + Volatilidade.
Podemos entender os Black-Scholes como iguais ao valor mínimo da opção mais o valor adicional para a volatilidade da opção: quanto maior a volatilidade, maior o valor adicional. Graficamente, podemos ver o valor mínimo como uma função de inclinação ascendente do termo da opção. Volatilidade é um "plus-up" na linha de valor mínimo.
Aqueles que são matematicamente inclinados podem preferir entender os Black-Scholes como tendo a fórmula de valor mínimo que já analisamos e adicionando dois fatores de volatilidade (N1 e N2). Juntos, aumentam o valor dependendo do grau de volatilidade.
Black-Scholes deve ser ajustado para os ESOs.
A Black-Scholes estima o valor justo de uma opção. É um modelo teórico que faz várias suposições, incluindo a plena capacidade de negociação da opção (ou seja, a extensão em que a opção pode ser exercida ou vendida por vontade do titular das opções) e uma volatilidade constante ao longo da vida da opção. Se as suposições estiverem corretas, o modelo é uma prova matemática e sua saída de preço deve estar correta.
Existem três diferenças principais entre os ESOs e as opções negociadas a curto prazo (que estão resumidas na tabela abaixo). Tecnicamente, cada uma dessas diferenças viola uma suposição de Black-Scholes - um fato contemplado pelas regras contábeis do FAS 123. Elas incluíam dois ajustes ou "correções" na produção natural do modelo, mas a terceira diferença - que a volatilidade não pode se manter constante vida excepcionalmente longa de um ESO - não foi abordada. Aqui estão as três diferenças e as correções de avaliação propostas propostas no FAS 123 que ainda estão em vigor em março de 2004.
Calculadora Black-Scholes da ERI.
Dados de entrada.
Opções (valor justo)
Planejamento e análise de remuneração executiva facilitada.
Disclaimer: Esta calculadora Black-Scholes não pretende ser uma base para decisões de negociação. Nenhuma responsabilidade é assumida pela sua correção ou adequação para qualquer propósito. Use por sua conta e risco.
Para saber mais sobre como usar o método Black-Scholes para colocar um valor nas opções de ações, consulte o curso on-line do ERI Distance Learning Center Black-Scholes Valuations.
Esta calculadora on-line usa a equação de Black-Scholes para o valor justo de uma opção de compra europeia * em uma ação que não paga dividendos, como segue:
Uma opção de compra europeia só pode ser exercida na data de vencimento. Isso está em contraste com as opções americanas que podem ser exercidas a qualquer momento antes da expiração.
Uma opção européia é usada para reduzir as variáveis na equação. Isso é aceitável, já que a maioria das opções de ações da empresa nos EUA não é exercida até a data de vencimento (vesting). Por quê? Quando um empregado faz uma chamada antecipadamente, ele perde o valor de tempo restante na chamada e coleta somente o valor intrínseco.
O ERI Economic Research Institute foi fundado há mais de 30 anos para fornecer aplicações de compensação para organizações privadas e públicas. Os assinantes incluem remuneração corporativa, realocação, recursos humanos e outros profissionais, bem como consultores e conselheiros independentes, e administradores do setor público dos EUA e do Canadá (incluindo administradores militares, policiais, municipais, estaduais e provinciais) .
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Calculadora Black-Scholes.
Enquanto o Shareworks Expense Accounting torna fácil para as empresas privadas concluir o processo de avaliação de opções, fornecemos esta calculadora Black-Scholes para demonstrar um método que as empresas não públicas consideram útil se suas necessidades de administração de plano forem mínimas. Esta calculadora pode ser usada para determinar o & # 8220; valor justo & # 8221; sob ASC 718. Quando as coisas ficarem complicadas, entre em contato com o cara residente do Solium, Michael Esposito.
P. S. Uma entrada que pode ser difícil de julgar é a primeira delas & # 8212; o valor justo de mercado das ações subjacentes na data da outorga. Se você precisar de uma avaliação 409A, não deixe de conferir o Solium Analytics.
Instruções para usar a calculadora Black-Scholes.
A calculadora Black-Scholes é encontrada abaixo. Digite os valores nas células de acordo com as instruções abaixo.
Valor justo de mercado: insira o valor justo de mercado da opção na data da outorga. Preço de exercício: insira o preço de exercício da opção. Prazo esperado: Insira o prazo esperado da outorga da opção, conforme calculado pelo SAB 110. Taxa de juros: insira a taxa de juros. Taxa de Dividendos: Supondo que a empresa não tenha dividendos, deixe esta célula em 0. Volatilidade: Insira a volatilidade com base em um número apropriado de empresas de mesmo valor. Os valores nas próximas duas células fazem parte do cálculo, portanto, não altere esses valores. Valor justo: Após inserir os valores entrados nas células acima, o valor justo por ação da opção é exibido.
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